Namangan davlat universiteti
Annotatsiya. Mazkur ishda o‘zgaruvchi a(t) koeffitsiyentli chiziqlilashtirilgan Benni–Lyuk tenglamasi uchun chegaralangan sohada sharnirli mahkamlash tipidagi chegaraviy shartlar ostidagi boshlang‘ich-chegaraviy masala o‘rganilgan. Qaralayotgan model dispersiya xossalarini hisobga oluvchi to‘lqin jarayonlarini tavsiflaydi. Masalani Furye usuli, mos operatorning xos funksiyalari bo‘yicha yoyish hamda integral tenglamalar sistemasiga keltirish orqali klassik yechimning mavjudligi va yagonaligi isbotlangan. Boshlang‘ich ma’lumotlar va a(t) koeffitsiyentga qo‘yilgan ma’lum shartlarda masalaning klassik yechimga ega ekanligi ko‘rsatilgan.
Kalit so'zlar: Benni–Lyuk tenglamasi, chiziqlashtirilgan tenglama, boshlang‘ich-chegaraviy masala, klassik yechim, Furye usuli, dispersiv to‘lqinlar, o‘zgaruvchi koeffitsiyent, yechimning mavjudligi va yagonaligi, chegaralangan soha, integral tenglamalar.
Аннотация. В настоящей работе исследуется начально-краевая задача для линеаризованного уравнения Бенни–Люка с переменным коэффициентом a(t) в ограниченной области при граничных условиях типа шарнирного опирания. Рассматриваемая модель учитывает дисперсионные свойства среды и представляет интерес с точки зрения математической теории волновых процессов. С помощью метода Фурье, разложения по собственным функциям соответствующего оператора и сведения задачи к системе интегральных уравнений получены результаты о классической разрешимости задачи. Доказаны теоремы существования и единственности классического решения при определённых условиях на исходные данные и коэффициент a(t).
Ключевые слова: уравнение Бенни–Люка, линеаризованное уравнение, начально-краевая задача, классическая разрешимость, метод Фурье, дисперсионные волны, переменный коэффициент, существование и единственность решения, ограниченная область, интегральные уравнения.
Abstract. In this paper, an initial-boundary value problem for the linearized Benney–Luke equation with a variable coefficient a(t) in a bounded domain under hinged boundary conditions is investigated. The considered model describes wave processes taking into account dispersive effects and is of interest in the mathematical theory of wave propagation. By using the Fourier method, expansions in terms of the eigenfunctions of the corresponding operator, and reduction to a system of integral equations, the existence and uniqueness of a classical solution are established. Sufficient conditions on the initial data and the coefficient a(t) ensuring the classical solvability of the problem are obtained.
Keywords: Benney–Luke equation, linearized equation, initial-boundary value problem, classical solvability, Fourier method, dispersive waves, variable coefficient, existence and uniqueness of solution, bounded domain, integral equations.