Namangan davlat universiteti
Annotatsiya. Maqolada ikkita Bessel operatori va ikkita tip o‘zgarish tekisligiga ega uch o‘lchovli aralash tipdagi tenglama uchun x o‘zgaruvchi bo‘yicha ikkinchi chega-raviy shart (Neyman sharti) berilgan chegaraviy masala tadqiq etilgan. O‘zgaruvchilarni ajratish usuli yordamida dastlabki chegaraviy masala bir nechta yordamchi spektral masalalarga keltiriladi. Tegishli xos qiymatlar masalalari tadqiq etilib, ular bilan bog‘liq xos funksiyalar sistemalari quriladi. Yechimlarning aniq ifodalarini olish uchun biortogonal xos funksiyalar sistemasi bilan birgalikda vaznli Fure–Bessel yoyilmasidan foydalaniladi. Spektral parametrlar orasidagi turli nisbatlarga mos keluvchi hollar alohida tahlil qilinadi. Bunda parametrlarning ay-rim oraliqlarida yuzaga keladigan «kichik maxrajlar» muammosiga alohida e’tibor qaratiladi. Bu esa qurilgan qatorlarning yaqinlashishini asoslash uchun maxsus analitik usullarni qo‘llashni talab etadi. Tegishli chegaraviy shartlar va tutashtirish shartlari ostida yechimning mavjudligi va yagonaligi o‘rnatiladi.
Kalit so'zlar: aralash tipdagi tenglama; ikkinchi chegaraviy masala; Bessel operatori; Neyman sharti; xos funksiyalar sistemasi; Fure–Bessel yoyilmasi; biortogonal sistema; kichik maxrajlar muammosi.
Аннотация. В статье исследуется краевая задача со вторым граничным условием (условием Неймана) по переменной x для трёхмерного уравнения смешанного типа с двумя операторами Бесселя и двумя плоскостями измене-ния типа. С помощью метода разделения переменных исходная краевая зада-ча сводится к нескольким вспомогательным спектральным задачам. Иссле-дуются соответствующие задачи на собственные значения и строятся связан-ные с ними системы собственных функций. Для получения явных представ-лений решений применяется взвешенное разложение Фурье–Бесселя совме-стно с биортогональной системой собственных функций. Отдельно анализи-руются случаи, соответствующие различным соотношениям между спек-тральными параметрами. При этом особое внимание уделяется проблеме «малых знаменателей», возникающей в некоторых диапазонах параметров, что требует применения специальных аналитических приёмов для обоснова-ния сходимости построенных рядов. При соответствующих краевых услови-ях и условиях сопряжения устанавливаются существование и единственность решения.
Ключевые слова: уравнение смешанного типа; вторая краевая задача; оператор Бесселя; условие Неймана; система собственных функций; разложение Фурье–Бесселя; биортогональная система; проблема малых знаменателей.
Abstract. This paper investigates a boundary value problem with the second boundary condition (Neumann condition) with respect to the variable x for a three-dimensional mixed-type equation with two Bessel operators and two type-changing planes. By means of the method of separation of variables, the original boundary value problem is reduced to several auxiliary spectral problems. The corresponding eigenvalue problems are investigated, and the associated systems of eigenfunctions are constructed. To obtain explicit representations of the solutions, a weighted Fou-rier–Bessel expansion is employed in conjunction with a biorthogonal system of eigenfunctions. The cases corresponding to different relations between the spectral parameters are analyzed separately. Particular attention is paid to the small-denominator problem arising in certain parameter ranges, which requires special analytical techniques to justify the convergence of the constructed series. Under the corresponding boundary and conjugation conditions, the existence and unique-ness of the solution are established.
Keywords: mixed-type equation; second boundary value problem; Bessel operator; Neumann condition; system of eigenfunctions; Fourier–Bessel expansion; biorthogonal system; small-denominator problem.