Namangan davlat universiteti
Annotatsiya. Ushbu maqolada bir o‘lchamli bir jinsli bo‘lmagan tor tebranish (to‘lqin) tenglamasi uchun integral shartli teskari masala o‘rganilgan. Masalada ikki noma’lum funksiya yechim va o‘ng tomondagi faqat vaqtga bog‘liq manba funksiyasi - birgalikda aniqlanishi talab qilinadi; ular xarakteristik chiziqlar bilan chegaralangan sohada giperbolik tenglama, boshlang‘ich shart, nolokal integral shart hamda xarakteristika bo‘ylab berilgan qo‘shimcha shart orqali izlanadi. Yechimni qurishda Dalamber formulasidan foydalanilib, noma’lum boshlang‘ich funksiya ikkinchi tur Volterra integral tenglamasiga keltiriladi, manba funksiyasi esa ketma-ket differensiallash orqali topiladi. Berilgan ma’lumotlar orasidagi moslik shartlari aniqlanib, ular asosida masala yechimining mavjudligi va yagonaligi isbotlangan hamda noma’lum funksiyalarning oshkor analitik ifodalari olingan. Nazariy natijalar ko‘phadli va trigonometrik ma’lumotlar bilan berilgan aniq misollar hamda grafiklar yordamida tasdiqlangan. Olingan natijalar matematik fizikaning teskari masalalari nazariyasini rivojlantirishda va tebranish jarayonlarini modellashtirishda muhim ahamiyatga ega.
Kalit so'zlar: to‘lqin tenglamasi, teskari masala, qo‘shimcha shart, Dalamber formulasi, mavjudlik va yagonalik, bir jinsli bolmagan tenglama.
Аннотация. В данной статье исследуется обратная задача с интегральным условием для одномерного неоднородного уравнения колебаний струны (волнового уравнения). В задаче требуется совместно определить две неизвестные функции решение и зависящий только от времени источник в правой части; они находятся в области, ограниченной характеристическими линиями, из гиперболического уравнения, начального условия, нелокального интегрального условия, а также дополнительного условия, заданного вдоль характеристики. При построении решения используется формула Даламбера, неизвестная начальная функция сводится к интегральному уравнению Вольтерра второго рода, а функция источника находится последовательным дифференцированием. Определены условия согласования исходных данных, на основе которых доказаны существование и единственность решения и получены явные аналитические выражения для неизвестных функций. Теоретические результаты подтверждены конкретными примерами с полиномиальными и тригонометрическими данными и графиками. Полученные результаты важны для развития теории обратных задач математической физики и моделирования колебательных процессов.
Ключевые слова: волновое уравнение, обратная задача, дополнительное условие, формула Даламбера, существование и единственность, неоднородное уравнение.
Abstract. This paper studies an inverse problem with an integral condition for the one-dimensional inhomogeneous string vibration (wave) equation. The problem requires the simultaneous determination of two unknown functions the solution and a time-dependent source term on the right-hand side; they are sought in a domain bounded by characteristic lines from a hyperbolic equation, an initial condition, a nonlocal integral condition, and an additional condition prescribed along a characteristic. The solution is constructed using d’Alembert’s formula, the unknown initial function is reduced to a Volterra integral equation of the second kind, and the source function is found by successive differentiation. Compatibility conditions for the given data are established, on the basis of which the existence and uniqueness of the solution are proved and explicit analytical expressions for the unknown functions are obtained. The theoretical results are confirmed by concrete examples with polynomial and trigonometric data and by graphs. The obtained results are important for the development of the theory of inverse problems of mathematical physics and for modeling vibration processes.
Keywords: wave equation, inverse problem, additional condition, A’dlembert formula, existence and uniqueness, inhomogeneous equation.