Namangan davlat universiteti
Annotatsiya. Tekislikdagi proektiv geometriya fanida oʻrganiladigan nuqtalarning murakkab nisbati hamda uch nuqtaning kollinearlik shartlari barcha manbalarda proektiv geometriyaning aksiomatik metodlar vositasida oʻrganilgan va bazi xossalari shu metod asosida isbot qilingan. Farqli ravishda mazkur maqolada toʻrt nuqtaning murakkab nisbati hamda uchta nuqtaning kollinearlik shartlari analitik usullarda isbotlangan.
Kalit so'zlar: Proektiv almashtirishlar, proektiv toʻgʻri chiziq va proektiv tekislik, bir jinsli koordinatalar, murakkab nisbat, kollinearlik shartlari.
Аннотация. В учебной дисциплине «Проективная геометрия» на плоскости двойное отношение четырёх точек, а также условия коллинеарности трёх точек во всех источниках изучаются с использованием аксиоматических методов проективной геометрии, и некоторые свойства доказываются на основе данного метода. В отличие от этого, в данной статье двойное отношение четырёх точек и условия коллинеарности трёх точек доказаны аналитическими методами.
Ключевые слова: проективные преобразования, проективная прямая и проективная плоскость, однородные координаты, двойное отношение, условия коллинеарности.
Abstract. In the discipline of Projective Geometry, the cross-ratio of four points in the plane, as well as the conditions for the collinearity of three points, are studied in all sources using the axiomatic methods of projective geometry, and some of their properties are proved based on this method. In contrast, in this paper, the cross-ratio of four points and the conditions for the collinearity of three points are proved using analytical methods.
Keywords: projective transformations, projective line and projective plane, homogeneous coordinates, cross-ratio, conditions for collinearity.