Namangan davlat universiteti
Annotatsiya. Maqolada ikkita holatga ega bo‘lgan bir jinsli Markov zanjirining chekli vaqt oralig‘idagi va chegaraviy xatti-harakati o‘rganilgan. Zanjirning o‘tish matritsasi a va b o‘tish ehtimollari orqali aniqlanadi. Tadqiqotning asosiy maqsadi boshlang‘ich taqsimot ta’sirining kamayish tezligini analitik baholashdan iborat. Buning uchun λ_2=1-a-b ikkinchi xos qiymat va P^n=Π+λ_2^n Z spektral tasviridan foydalanilgan. O‘tish matritsasining chegaraviy matritsadan og‘ishi |λ_2 |^n geometrik tezlik bilan kamayishi ko‘rsatilgan. λ_2>0 bo‘lganda statsionar taqsimotga yaqinlashish monoton, λ_2<0 bo‘lganda esa so‘nuvchi tebranishlar ko‘rinishida sodir bo‘ladi. Chekli gorizontdagi xatolik, to‘liq variatsiya masofasi va aralashish vaqti tahlil qilingan. λ_2=0,4, 0,8 va 0,9 qiymatlariga ega zanjirlar taqqoslangan. Parametrlarning chegaraviy holatlari va kuzatilgan o‘tishlar asosida statistik baholash masalasi ham ko‘rib chiqilgan.
Kalit so'zlar: Markov zanjiri, o‘tish matritsasi, statsionar taqsimot, xos qiymat, spektral bo‘shliq, chekli gorizont, to‘liq variatsiya masofasi, aralashish vaqti.
Аннотация. В статье исследуется конечногоризонтное и предельное поведение однородной цепи Маркова с двумя состояниями. Переходная матрица задаётся вероятностями a и b, определяющими переходы между состояниями. Цель исследования состоит в аналитической оценке скорости исчезновения зависимости от начального распределения. Основным инструментом является спектральное представление P^n=Π+λ_2^n Z, где Π представляет стационарный компонент, а λ_2=1-a-b является вторым собственным значением переходной матрицы. Установлено, что отклонение от предельного режима уменьшается пропорционально |λ_2 |^n. Положительный знак λ_2 соответствует монотонной сходимости, а отрицательный знак приводит к затухающим осцилляциям. Рассматриваются расстояние по полной вариации, время перемешивания, конечногоризонтная ошибка и граничные значения параметров. Проведено сравнение переходных матриц со вторыми собственными значениями 0,4, 0,8 и 0,9. Приведён иллюстративный пример оценивания параметров по наблюдаемым числам переходов. Полученные результаты показывают, что стационарное распределение должно использоваться совместно с оценкой скорости сходимости.
Ключевые слова: цепь Маркова, переходная матрица, стационарное распределение, собственное значение, спектральный зазор, конечный горизонт, расстояние по полной вариации, время перемешивания.
Abstract. The finite-horizon and limiting behavior of a homogeneous two-state Markov chain is investigated. The transition matrix is determined by probabilities a and b, which describe transitions between the two states. The purpose of the study is to obtain an analytical estimate of the rate at which the influence of the initial distribution disappears. The main analytical tool is the spectral representation P^n=Π+λ_2^n Z,, where Π is the stationary component and λ_2=1-a-b is the second eigenvalue of the transition matrix. The deviation from the limiting regime is shown to decrease proportionally to |λ_2 |^n. A positive value of λ_2 produces monotone convergence, whereas a negative value produces damped oscillations. Total variation distance, mixing time, finite-horizon error, and boundary parameter cases are examined. Transition matrices with second eigenvalues 0,4, 0,8, and 0,9 are compared. An illustrative example of parameter estimation from observed transition counts is also presented. The results demonstrate that a stationary distribution should be used together with an explicit assessment of the convergence rate.
Keywords: Markov chain, transition matrix, stationary distribution, eigenvalue, spectral gap, finite horizon, total variation distance, mixing time.